Задание № 1809 
Сложность: II
Разные задачи
i
SABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 54. Точка M — середина ребра SC. Точка 
DN : NS = 1 : 3 (см. рис.). Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки M и N параллельно ребру SB, пересекает основание ABCD пирамиды.
Решение. Проведём прямую MK параллельно ребру SB. Пусть P — точка пересечения прямых MN и CD. Тогда точки K и P лежат в плоскости, проходящей через прямую MN параллельно SB, и в плоскости основания ABCD. Тогда прямая KP — пересечение плоскостей MNK и ABCD. Точка E — точка пересечения прямых KP и AD, следовательно, необходимо найти длину отрезка KE.
Проведём прямую MF параллельно ребру SD. Поскольку точка M — середина SC, то точка F — середина CD. Заметим, что MF — средняя линия треугольника DSC, следовательно, MF = 27. По условию, DN : NS = 1 : 3, тогда 
Заметим, что DN — средняя линия треугольника MFP, следовательно, D — середина отрезка FP, тогда, поскольку FD = DP = 27, CP = 27 · 3 = 81.
Так как в основании пирамиды лежит квадрат, угол KDP — прямой. Тогда можем найти длину отрезка KP по теореме Пифагора:
Применим теорему Фалеса в треугольнике KCP:
Правильный ответ указан под номером 5.
Ответ: 5
